某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 $10$ 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m$^2$）和材积量（单位：m$^3$），得到如下数据：

并计算得 $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.038$，$\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1.6158$，$\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 0.2474$。

(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 $0.01$）；

(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 $186$ m$^2$。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。