椭圆 $C: \frac{x^2}{3} + y^2 = 1$, $y = x + m$ 交 $C$ 于 $A,B$, 若 $\triangle F_1AB$ 面积是 $\triangle F_2AB$ 的 2 倍, 则 $m =$ （ ）

已知椭圆 $C: \dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, 点 $A(-2, 0)$ 在 $C$ 上。

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 过点 $(-2, 3)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 直线 $AP, AQ$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$, 证明: 线段 $MN$ 的中点为定点。