已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, $A, C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点, $B, D$ 分别是 $E$ 的左、右顶点, $|AC| = 4$。

(1) 求 $E$ 的方程；

(2) 设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点, 直线 $PD$ 与直线 $BC$ 交于点 $M$, 直线 $PA$ 与直线 $y = -2$ 交于点 $N$。求证: $MN \parallel CD$。