已知对任意给定的实数 $x$, 都有 $(1 + 2023x)^{100} + (2023 - x)^{100} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{100} x^{100}$.当 $a_k < 0$ 时 ($k \in \{0, 1, 2, 3, \cdots, 100\}$), 正整数 $k$ 的最大值为______.

某公园欲建设一段斜坡, 斜坡面是一平面, 坡面与水平地面所成角为 $\theta$, 坡顶距水平地面的高度为 $4$ m.游客从坡底沿着斜坡面向上直行, 每走 $1$ m 消耗的体力为 $1.025 - \cos\theta$.当 $\theta =$______ 时, 游客走斜坡所消耗的体力最小.

已知 $a > 0$, 函数 $y = \sin x$ 在区间 $[a, 2a]$ 上的最小值为 $s$, 在区间 $[2a, 3a]$ 上的最小值为 $t$.当 $a$ 变化时, 下列一定不成立的是 （ ）

设 $a$、$c \in \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2 + (3a + 1)x + c}{x + a}$.

(1) 当 $a = 0$ 时, 是否存在实数 $c$, 使得 $y = f(x)$ 为奇函数? 请说明理由;

(2) 若函数 $y = f(x)$ 的图象过点 $(1, 3)$, 且其与 $x$ 轴的负半轴有两个不同的交点, 求 $c$ 的值及 $a$ 的取值范围.