已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$), 焦点和短轴端点构成边长为 $2$ 的正方形。

(1) 求椭圆 $E$ 的方程及离心率; (2) 过 $(0, t)$ ($t > \sqrt{2}$) 的直线与椭圆交于 $A, B$, 直线 $AC$ ($C(0,1)$) 与椭圆交于 $D$。若 $BD$ 斜率为 $0$, 求 $t$。