在空间中，$A$、$B$ 为两个定点，动点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离为 $2$，动点 $D$ 到直线 $AB$ 的距离为 $1$。若二面角 $C$-$AB$-$D$ 为 $60^\circ$，则（ ）

在长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 2$，$AA_1 = 3$，$AD = 4$，$A_1E = 3ED_1$，$2C_1F = FC$。

(1) 求证：$BA_1 \perp \text{面} AEF$；

(2) 求面 $AEF$ 与面 $ABC$ 的夹角的余弦值；

(3) 求三棱锥 $A - A_1EF$ 的体积。