已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$（$a>1$），过右焦点垂直于 $x$ 轴的直线被 $E$ 所截线段长为 $\sqrt{2}$。

（1）求 $E$ 的离心率；

（2）设 $O$ 为坐标原点，给定点 $G(t_0, 0)$（$t_0 \neq 0$）；$A(x_0, y_0)$（$y_0 \neq 0$）在 $E$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交于点 $B$，$AO$ 与 $GB$ 交于点 $P$。当 $A$ 在 $E$ 上运动时，$P$ 的轨迹为 $M$。

（i）求 $M$ 的方程；

（ii）曲线 $M$ 是否有中心点？当 $t_0$ 为何值时，$M$ 有中心点？当 $M$ 有中心点时，平移 $M$ 到 $M'$，使 $O$ 为 $M'$ 的中心点，说明 $M'$ 为何形状？

已知函数 $f(x) = x\mathrm{e}^x + ax + b$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y = -2x+1$。

（1）求 $a$，$b$；

（2）当 $x > 0$ 时，$f(x+m) - f(x) > m$，求 $m$ 的取值范围；

（3）当 $x > 0$ 时，$f(x+k) + f(k-x) > 2f(k)$，求 $k$ 的最小值。