已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$。

（1）求 $C$ 的方程；

（2）设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$。

（i）若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程；

（ii）求 $\tan\angle PQR$ 的最小值。

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且当 $x<0$ 时，$f(x)=2x$。对任意 $x_0\in\mathbb{R}$，定义集合 $D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$。

（1）若当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)=1-x$，求 $D(-1)$；

（2）若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1)\leqslant f(x_2)$，且 $x_1x_2\neq 0$，证明：$D(x_2)\subseteq D(x_1)$；

（3）设 $f(x)$ 满足：①若 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则 $D(x_2)\subseteq D(x_1)$；②当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(0)$。

（i）证明：$f(0)\geqslant 1$；

（ii）证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增。