小申同学观察发现, 生活中有时候影子可以完全投射在斜面上。某斜面上有两根长为 $1$ 米且垂直于水平面放置的杆子, 与斜面的接触点分别为 $A$、$B$, 它们在阳光的照射下呈现出影子, 阳光可视为平行光, 其中 $A$ 处杆子的影子在水平面上, 长度为 $0.4$ 米, $B$ 处杆子的影子完全在斜面上, 长度为 $0.45$ 米。则斜面的坡角 $\theta =$______。(结果精确到 $0.01^\circ$)

已知 $f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x < 0, \end{cases}$ 向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是平面内三个不同的单位向量, 若 $f(\vec{a} \cdot \vec{b}) + f(\vec{b} \cdot \vec{c}) + f(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$, 则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ 的取值范围是______。

设椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{5} = 1$ ($a > \sqrt{5}$), 点 $A$ 为 $\Gamma$ 的右顶点, 点 $M(0, m)$ ($m > 0$)。

(1) 若 $\Gamma$ 的一个焦点是 $(2, 0)$, 求 $\Gamma$ 的离心率;

(2) 设 $a = 4$, 椭圆 $\Gamma$ 上存在一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{MP}$, 求 $m$ 的值;

(3) 若线段 $AM$ 的中垂线 $l$ 的斜率为 $2$, $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 交于 $C$、$D$ 两点, 且 $\angle CMD$ 为钝角, 求 $a$ 的取值范围。

已知函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$, 对于正实数 $a$, 定义集合 $M_a = \{x \mid f(x + a) = f(x), x \in \mathbb{R}\}$。

(1) 设 $f(x) = \sin x$, 判断 $\frac{\pi}{3}$ 是否是 $M_\pi$ 中的元素, 并说明理由;

(2) 设 $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 0, \\ \sqrt{x}, & x \ge 0, \end{cases}$ 且 $M_a \ne \varnothing$, 求 $a$ 的取值范围;

(3) 若 $y = f(x)$ 是偶函数, 当 $x \in (0, 1]$ 时, $f(x) = 1 - x$, 且对任意 $a \in (0, 2)$, 均有 $M_a \subseteq M_2$。写出当 $x \in (1, 2)$ 时 $f(x)$ 的表达式, 并证明: 对任意实数 $c$, 函数 $y = f(x) - c$ 在区间 $[-3, 3]$ 上至多有 $9$ 个零点。