设椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{5} = 1$ ($a > \sqrt{5}$), 点 $A$ 为 $\Gamma$ 的右顶点, 点 $M(0, m)$ ($m > 0$)。

(1) 若 $\Gamma$ 的一个焦点是 $(2, 0)$, 求 $\Gamma$ 的离心率;

(2) 设 $a = 4$, 椭圆 $\Gamma$ 上存在一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{MP}$, 求 $m$ 的值;

(3) 若线段 $AM$ 的中垂线 $l$ 的斜率为 $2$, $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 交于 $C$、$D$ 两点, 且 $\angle CMD$ 为钝角, 求 $a$ 的取值范围。