已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且当 $x<0$ 时，$f(x)=2x$。对任意 $x_0\in\mathbb{R}$，定义集合 $D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$。

（1）若当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)=1-x$，求 $D(-1)$；

（2）若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1)\leqslant f(x_2)$，且 $x_1x_2\neq 0$，证明：$D(x_2)\subseteq D(x_1)$；

（3）设 $f(x)$ 满足：①若 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则 $D(x_2)\subseteq D(x_1)$；②当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(0)$。

（i）证明：$f(0)\geqslant 1$；

（ii）证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增。