已知数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的项数均为 $m$（$m>2$），且 $a_n$，$b_n\in\{1,2,\dots,m\}$，$\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_n$，$B_n$，并规定 $A_0=B_0=0$. 对于 $k\in\{0,1,2,\dots,m\}$，定义 $r_k=\max \{ i\mid B_i\le A_k,\ i\in\{0,1,2,\dots,m\}\}$，其中，$\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数.

(1) 若 $a_1=2$，$a_2=1$，$a_3=3$，$b_1=1$，$b_2=3$，$b_3=3$，求 $r_0$，$r_1$，$r_2$，$r_3$ 的值； (2) 若 $a_1\ge b_1$，且 $2r_j\le r_{j+1}+r_{j-1}$（$j=1$，$2$，$\dots$，$m-1$），求 $r_n$； (3) 证明：存在 $p$，$q$，$s$，$t\in\{0,1,2,\dots,m\}$，满足 $p>q$，$s>t$，使得 $A_p+B_t=A_q+B_s$.

已知 $f(x)=\ln x$. 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_1,f(a_1)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0,a_2)$，且 $a_2>0$；曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_2,f(a_2)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0,a_3)$；以此类推，直至 $a_m\le 0$ 时停止，得到数列 $\{a_n\}$.

(1) 证明：当正整数 $n\ge 2$ 时，$a_n=\ln a_{n-1}-1$； (2) 当正整数 $n\ge 2$ 时，试比较 $a_n$ 与 $a_{n-1}-2$ 的大小； (3) 若正整数 $k\ge 3$，是否存在 $k$ 使得 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_k$ 依次成等差数列？若存在，求出 $k$ 的所有取值；若不存在，试说明理由.