函数 $y = \begin{cases} 2^x, & x > 0 \\ 1, & x \leqslant 0 \end{cases}$ 的值域为______.

设 $a$、$c \in \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2 + (3a + 1)x + c}{x + a}$.

(1) 当 $a = 0$ 时, 是否存在实数 $c$, 使得 $y = f(x)$ 为奇函数? 请说明理由;

(2) 若函数 $y = f(x)$ 的图象过点 $(1, 3)$, 且其与 $x$ 轴的负半轴有两个不同的交点, 求 $c$ 的值及 $a$ 的取值范围.