已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$。

（1）求 $C$ 的方程；

（2）设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$。

（i）若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程；

（ii）求 $\tan\angle PQR$ 的最小值。

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$, 下顶点为 $A$, 右顶点为 $B, |AB| = \sqrt{10}$。

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上, 点 $R$ 在射线 $AP$ 上, 且满足 $|AP| \cdot |AR| = 3$。

① 设 $P(m,n)$, 求 $R$ 的坐标;

② 设 $O$ 为坐标原点, $Q$ 是 $C$ 上的动点, 直线 $OR$ 的斜率是直线 $OP$ 的斜率的 $3$ 倍, 求 $|PQ|$ 的最大值。