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19
高考真题
17分
函数与初等函数
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的定义域为
R
\mathbb{R}
R
，且当
x
<
0
x<0
x
<
0
时，
f
(
x
)
=
2
x
f(x)=2x
f
(
x
)
=
2
x
。对任意
x
0
∈
R
x_0\in\mathbb{R}
x
0
∈
R
，定义集合
D
(
x
0
)
=
{
d
∈
R
∣
f
(
x
0
+
d
)
>
f
(
x
0
)
}
D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}
D
(
x
0
)
=
{
d
∈
R
∣
f
(
x
0
+
d
)
>
f
(
x
0
)}
。
（1）若当
x
⩾
0
x\geqslant 0
x
⩾
0
时，
f
(
x
)
=
1
−
x
f(x)=1-x
f
(
x
)
=
1
−
x
，求
D
(
−
1
)
D(-1)
D
(
−
1
)
；
（2）若
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
是奇函数，
f
(
x
1
)
⩽
f
(
x
2
)
f(x_1)\leqslant f(x_2)
f
(
x
1
)
⩽
f
(
x
2
)
，且
x
1
x
2
≠
0
x_1x_2\neq 0
x
1
x
2
=
0
，证明：
D
(
x
2
)
⊆
D
(
x
1
)
D(x_2)\subseteq D(x_1)
D
(
x
2
)
⊆
D
(
x
1
)
；
（3）设
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
满足：①若
f
(
x
1
)
⩽
f
(
x
2
)
f(x_1)\leqslant f(x_2)
f
(
x
1
)
⩽
f
(
x
2
)
，则
D
(
x
2
)
⊆
D
(
x
1
)
D(x_2)\subseteq D(x_1)
D
(
x
2
)
⊆
D
(
x
1
)
；②当
0
<
x
<
1
0<x<1
0
<
x
<
1
时，
f
(
x
)
<
f
(
0
)
f(x)<f(0)
f
(
x
)
<
f
(
0
)
。
（i）证明：
f
(
0
)
⩾
1
f(0)\geqslant 1
f
(
0
)
⩾
1
；
（ii）证明：
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在区间
(
0
,
+
∞
)
(0,+\infty)
(
0
,
+
∞
)
单调递增。
2026全国一卷 · 第 19 题 · 解答题
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06
高考真题
5分
函数与初等函数
★★★☆☆
已知函数
f
(
x
)
=
{
−
x
2
−
2
a
x
−
a
,
x
<
0
e
x
+
ln
(
x
+
1
)
,
x
≥
0
f(x) = \begin{cases} -x^2-2ax-a, & x<0 \\ e^x+\ln(x+1), & x \ge 0 \end{cases}
f
(
x
)
=
{
−
x
2
−
2
a
x
−
a
,
e
x
+
ln
(
x
+
1
)
,
x
<
0
x
≥
0
在
R
\mathbb{R}
R
上单调递增, 则
a
a
a
的取值范围是 ( )
A.
(
−
1
,
0
]
(-1, 0]
(
−
1
,
0
]
B.
[
−
1
,
0
]
[-1, 0]
[
−
1
,
0
]
C.
[
−
1
,
1
]
[-1, 1]
[
−
1
,
1
]
D.
[
0
,
+
∞
)
[0, +\infty)
[
0
,
+
∞
)
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