记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 已知 $S_9 = 1$, 则 $a_3 + a_7 =$ （ ）

已知 $b$ 是 $a, c$ 的等差中项, 直线 $ax + by + c = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 + 4y - 1 = 0$ 交于 $A, B$ 两点, 则 $|AB|$ 的最小值为 （ ）

设 $m$ 为正整数, 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列, 若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j\ (i<j)$ 后剩余的 $4m$ 项可被平均分为 $m$ 组, 且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列, 则称数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有的 $(i,j)$, $1 \le i < j \le 6$, 使数列 $a_1, a_2, \ldots, a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列;

(2) 当 $m \ge 3$ 时, 证明: 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列;

(3) 从 $1, 2, \ldots, 4m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j\ (i<j)$, 记数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$, 证明: $P_m > \frac{1}{8}$.