如图, 点 $P$ 是圆锥的顶点, 点 $O$ 是底面圆心, 底面直径 $AB = 2$。

(1) 若直线 $PA$ 与圆锥底面所成角为 $\frac{\pi}{3}$, 求圆锥的侧面积;

(2) 若 $Q$ 是母线 $PA$ 的中点, 点 $C$、$D$ 在底面圆周上, $\widehat{AC}$ 弧长为 $\frac{\pi}{3}$, $CD \parallel AB$, 点 $T$ 在线段 $OC$ 上, 求证: 直线 $QT \parallel$ 平面 $PBD$。