双曲线 $C$ 中心在原点, 左焦点 $(-2\sqrt{5}, 0)$, 离心率 $\sqrt{5}$。

(1) 求 $C$ 方程;

(2) 过 $(-4, 0)$ 的直线交 $C$ 左支于 $M,N$, $M$ 在第二象限, $MA_1$ 与 $NA_2$ 交于 $P$, 证明 $P$ 在定直线上。