设椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的右焦点为 $F$, 点 $M\left(1, \dfrac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上, 且 $MF \perp x$ 轴.

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 过点 $P(4, 0)$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点, $N$ 为线段 $FP$ 的中点, 直线 $NB$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$, 证明: $AQ \perp y$ 轴.