已知 $f(x) = \ln x$.曲线 $y = f(x)$ 在点 $(a_1, f(a_1))$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0, a_2)$, 且 $a_2 > 0$; 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(a_2, f(a_2))$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0, a_3)$; 以此类推, 直至 $a_m \leqslant 0$ 时停止操作, 得到数列 $\{a_n\}$, 其中 $m$、$n$ 为正整数, $1 < n \leqslant m$.

(1) 证明: 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_n = \ln a_{n-1} - 1$;

(2) 当 $n \geqslant 2$ 时, 试比较 $a_n$ 和 $a_{n-1} - 2$ 的大小, 并说明理由;

(3) 是否存在不小于 $3$ 的正整数 $k$, 使得 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k$ 成等差数列? 若存在, 求出 $k$ 的所有取值; 若不存在, 请说明理由.