设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, b > 0$) 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_2$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点. 若 $|F_1A|=13$, $|AB|=10$, 则 $C$ 的离心率为 ______.