下列命题是真命题的为（ ）

\begin{solution} 命题 A 中等式有意义，故 $x\neq0$，$y\neq0$，由 $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$ 得 $x=y$，所以命题 A 正确. 命题 B 中 $x^{2}=1$ 可得 $x=\pm1$，不能推出 $x=1$. 命题 C 取 $x=y=-1$ 时，$\sqrt{x}$ 与 $\sqrt{y}$ 在实数范围内均无意义. 命题 D 取 $x=-2$，$y=-1$，虽有 $x<y$，但 $x^{2}>y^{2}$. 因此真命题为 A. \end{solution}

函数 $y = \frac{\sqrt{-x^2 - 3x + 4}}{x}$ 的定义域为（ ）

\begin{solution} 根式有意义要求 $-x^{2}-3x+4\geqslant0$，分母还要求 $x\neq0$. 因为 $-x^{2}-3x+4=-(x+4)(x-1)$，所以 $-4\leqslant x\leqslant1$. 排除 $x=0$ 后，定义域为 $[-4,0)\cup(0,1]$，故选 D. \end{solution}

$50$ 名学生参加甲，乙两项体育活动，每人至少参加了一项. 参加甲项的学生有 $30$ 名，参加乙项的学生有 $25$ 名，则仅参加了一项活动的学生人数为（ ）

\begin{solution} 设同时参加甲、乙两项活动的人数为 $u$. 由容斥原理，$30+25-u=50$，所以 $u=5$. 仅参加一项活动的人数为 $30+25-2u=55-10=45$，故选 B. \end{solution}

已知向量 $\boldsymbol{a} = (3, 1)$，$\boldsymbol{b} = (1, 3)$，$\boldsymbol{c} = (k, 2)$. 若 $(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}) \perp \boldsymbol{b}$，则 $k =$______.

\begin{solution} $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}=(3-k,-1)$. 由垂直条件， $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{b}=(3-k,-1)\cdot(1,3)=3-k-3=-k=0$，所以 $k=0$. \end{solution}