函数 $y=\tan 2x$ 的最小正周期是______.

\begin{answer} $\dfrac{\pi}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 正切函数满足 $\tan u=\tan v$ 当且仅当 $u-v=k\pi$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. 若 $T$ 是 $y=\tan 2x$ 的周期，则对定义域内任意 $x$，有 $\tan(2x+2T)=\tan 2x$，从而 $2T=k\pi$. 取最小正整数 $k=1$，得到 $T=\dfrac{\pi}{2}$；反之，$\tan\left(2x+\pi\right)=\tan 2x$，所以最小正周期确为 $\dfrac{\pi}{2}$. \end{solution}

函数 $y=-\sin 2x+3$ 的最大值是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 对任意实数 $x$，有 $-1\leqslant\sin 2x\leqslant1$. 两边同乘以 $-1$ 后不等号反向，得 $-1\leqslant-\sin 2x\leqslant1$，再加上 $3$，得到 $2\leqslant-\sin 2x+3\leqslant4$. 当 $\sin 2x=-1$ 时上界可以取到，例如取 $2x=\dfrac{3\pi}{2}$，所以最大值为 $4$，选 C. \end{solution}