设 $\mathrm{i}$ 是虚数单位，则复数 $\frac{2\mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}}$ 在复平面内所对应的点位于（ ）

\begin{solution} 该复数的实部为 $-1$，虚部为 $1$，对应的点在第二象限，故选 B. \end{solution}

下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

\begin{solution} $y=\cos x$ 满足 $\cos(-x)=\cos x$，是偶函数，且当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时有 $\cos x=0$，所以存在零点. $y=\sin x$ 是奇函数；$y=\ln x$ 的定义域不是关于原点对称的集合，不能成为偶函数；$y=x^2+1$ 虽是偶函数，但始终大于 $0$，没有零点. 因此选 A. \end{solution}

设 $p: 1 < x < 2$，$q: 2^x > 1$，则 $p$ 是 $q$ 成立的（ ）

\begin{solution} 由 $1<x<2$ 可知 $x>0$，而底数 $2>1$，所以 $2^x>1$，即 $p\Rightarrow q$. 但 $x=3$ 时 $2^x>1$ 成立而 $1<x<2$ 不成立，故 $q$ 不能推出 $p$. 因此 $p$ 是 $q$ 成立的充分不必要条件，选 A. \end{solution}

$\left(x^{3} + \frac{1}{x}\right)^{7}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数是______.

\begin{solution} 展开式的第 $k+1$ 项为 令 $21-4k=5$，得 $k=4$，所以 $x^5$ 的系数为 $\mathrm C_7^4=35$. \end{solution}