设 $M=\{x\mid -2\leqslant x\leqslant 2\}$，$N=\{x\mid x<1\}$，则 $M\cap N$ 等于（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 因为 $M$ 表示区间 $[-2,2]$，而 $N$ 表示区间 $(-\infty,1)$，所以 $M\cap N=\{x\mid -2\leqslant x<1\}$，正确选项为 D. \end{solution}

满足条件 $\left|z\right|=\left|3+4\mathrm{i}\right|$ 的复数 $z$ 在复平面上对应点的轨迹是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设 $z=x+y\mathrm{i}$，则 $\left\lvert 3+4\mathrm{i}\right\rvert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，从而 $\left\lvert z\right\rvert=5$ 等价于 $x^{2}+y^{2}=25$. 这表示以原点为圆心、半径为 $5$ 的圆，故正确选项为 C. \end{solution}

函数 $y=\sin x\cos x$ 的最小正周期是______. \begin{answer} $\pi$ \end{answer}

\begin{solution} 利用二倍角公式，$y=\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$. 因为 $\sin 2(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin2x$，所以 $\pi$ 是该函数的正周期. 若正数 $T$ 是它的周期，则对任意 $x$，有 $\sin(2x+2T)=\sin2x$. 取 $x=0$ 和 $x=\dfrac{\pi}{4}$，分别得到 $\sin2T=0$ 以及 $\cos2T=1$，故 $2T=2k\pi$（$k\in\mathbf{Z}$），从而 $T=k\pi$. 正数周期中最小者为 $\pi$. \end{solution}