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01立体几何初步★☆☆☆☆
如果正方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 的棱长为 aa，那么四面体 A′−ABDA' - ABD 的体积是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 三角形 ABDABD 是正方形 ABCDABCD 的一半，所以其面积为 a22\frac{a^2}{2}. 点 A′A' 到平面 ABDABD 的距离就是正方体的棱长 aa，因此四面体的体积为 13⋅a22⋅a=a36\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}，故选 D. \end{solution}
A.
a32\frac{a^{3}}{2}
B.
a33\frac{a^3}{3}
C.
a34\frac{a^3}{4}
D.
a36\frac{a^3}{6}

1985 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
tan⁡x=1\tan x = 1 是 x=54πx = \frac{5}{4}\pi 的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 当 x=5π4x=\frac{5\pi}{4} 时，tan⁡x=1\tan x=1，所以 x=5π4x=\frac{5\pi}{4} 能推出 tan⁡x=1\tan x=1，即 tan⁡x=1\tan x=1 是该条件的必要条件. 反过来，tan⁡x=1\tan x=1 时还可能有 x=π4+kπx=\frac{\pi}{4}+k\pi，并不一定等于 5π4\frac{5\pi}{4}，所以它不是充分条件，故选 A. \end{solution}
A.
必要条件
B.
充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要的条件

1985 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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06三角函数★☆☆☆☆
求方程 2sin⁡(x+π6)=12\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 解集.
\begin{solution} 原方程等价于 sin⁡(x+π6)=12\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}. 因此 x+π6=π6+2kπx+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi 或 x+π6=5π6+2kπx+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 分别解得 x=2kπx=2k\pi 或 x=2π3+2kπx=\frac{2\pi}{3}+2k\pi，所以解集为 {2kπ∣k∈Z}∪{2π3+2kπ∣k∈Z}\left\{2k\pi\mid k\in\mathbf{Z}\right\}\cup\left\{\frac{2\pi}{3}+2k\pi\mid k\in\mathbf{Z}\right\}. \end{solution}

1985 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 解答题

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08解析几何★☆☆☆☆
求曲线 y2=−16x+64y^{2}=-16x+64 的焦点.
\begin{solution} 将方程化为 y2=−16(x−4)y^2=-16(x-4)，与抛物线标准方程 y2=4p(x−h)y^2=4p(x-h) 比较，得 h=4h=4，p=−4p=-4. 所以顶点为 (4,0)(4,0)，焦点为 (h+p,0)=(0,0)(h+p,0)=(0,0). \end{solution}

1985 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 解答题

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10函数与初等函数★☆☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域是 [0,1][0,1]，求函数 f(x2)f(x^2) 的定义域.
\begin{solution} 要使 f(x2)f(x^2) 有意义，必须有 x2∈[0,1]x^2\in[0,1]，即 0⩽x2⩽10\leqslant x^2\leqslant1. 这等价于 −1⩽x⩽1-1\leqslant x\leqslant1，所以函数 f(x2)f(x^2) 的定义域为 [−1,1][-1,1]. \end{solution}

1985 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 解答题

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