若复数 $z = 1 + 2\mathrm{i}$，其中 $\mathrm{i}$ 是虚数单位，则 $\left(z + \frac{1}{\overline{z}}\right) \cdot \overline{z} =$______.

\begin{answer} $6$ \end{answer}

\begin{solution} 因为 $\overline z=1-2\mathrm{i}$，所以 $z\overline z=1^2+2^2=5$，且 $\dfrac{1}{\overline z}=\dfrac{z}{z\overline z}=\dfrac{z}{5}$. 因而 $\left(z+\dfrac{1}{\overline z}\right)\overline z=z\overline z+1=5+1=6$. \end{solution}