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01三角函数★☆☆☆☆
函数 y=1−2cos⁡2(2x)y = 1 - 2\cos^{2}(2x) 的最小正周期是______.
\begin{answer} π2\frac{\pi}{2} \end{answer}
\begin{solution} 由降幂公式，y=1−(1+cos⁡4x)=−cos⁡4xy=1-\left(1+\cos4x\right)=-\cos4x. 函数 cos⁡4x\cos4x 的最小正周期为 2π4=π2\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}，乘以 −1-1 不改变周期，因此所求最小正周期为 π2\dfrac{\pi}{2}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 z=1+2iz = 1 + 2\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，则 (z+1z‾)⋅z‾=\left(z + \frac{1}{\overline{z}}\right) \cdot \overline{z} =______.
\begin{answer} 66 \end{answer}
\begin{solution} 因为 z‾=1−2i\overline z=1-2\mathrm{i}，所以 zz‾=12+22=5z\overline z=1^2+2^2=5，且 1z‾=zzz‾=z5\dfrac{1}{\overline z}=\dfrac{z}{z\overline z}=\dfrac{z}{5}. 因而 (z+1z‾)z‾=zz‾+1=5+1=6\left(z+\dfrac{1}{\overline z}\right)\overline z=z\overline z+1=5+1=6. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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03不等式★☆☆☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，函数 f(x)=∣x−1∣+∣x2−a∣f(x) = |x - 1| + |x^2 - a|，若 f(2)=1f(2) = 1，则 f(1)=f(1) =______.
\begin{answer} 33 \end{answer}
\begin{solution} 由 f(2)=∣2−1∣+∣4−a∣=1+∣4−a∣=1f(2)=|2-1|+|4-a|=1+|4-a|=1，得 ∣4−a∣=0|4-a|=0，所以 a=4a=4. 因此 f(1)=∣1−1∣+∣1−4∣=3f(1)=|1-1|+|1-4|=3. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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05概率与统计★☆☆☆☆
某校高一，高二，高三分别有学生 1600 名1600\text{ 名}、1200 名1200\text{ 名}、800 名800\text{ 名}. 为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样. 若高三抽出 20 名20\text{ 名}学生，则高一，高二共抽取的学生数为______.
\begin{answer} 7070 \end{answer}
\begin{solution} 分层抽样中各层抽取人数与该层学生人数成比例. 三个年级人数之比为 1600:1200:800=4:3:21600:1200:800=4:3:2. 高三的 22 份对应 2020 人，因此每份对应 1010 人，高一、高二共对应 4+3=74+3=7 份，抽取人数为 7×10=707\times10=70. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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