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02
集合与逻辑基础
★☆☆☆☆
已知集合
A
=
{
x
∣
0
<
log
4
x
<
1
}
A = \{x \mid 0 < \log_4 x < 1\}
A
=
{
x
∣
0
<
lo
g
4
x
<
1
}
，
B
=
{
x
∣
x
⩽
2
}
B = \{x \mid x \leqslant 2\}
B
=
{
x
∣
x
⩽
2
}
，则
A
∩
B
=
A \cap B =
A
∩
B
=
（ ）
A.
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
B.
(
0
,
2
]
(0,2]
(
0
,
2
]
C.
(
1
,
2
)
(1,2)
(
1
,
2
)
D.
(
1
,
2
]
(1,2]
(
1
,
2
]
2013 · 辽宁 · 理 · 第 2 题 · 选择题
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13
指数函数与对数函数
★☆☆☆☆
函数
y
=
e
2
x
+
1
y = \mathrm{e}^{2x + 1}
y
=
e
2
x
+
1
（
−
∞
<
x
<
+
∞
-\infty < x < +\infty
−
∞
<
x
<
+
∞
）的反函数是______.
\begin{solution} 由
y
=
e
2
x
+
1
y=\mathrm{e}^{2x+1}
y
=
e
2
x
+
1
得
y
>
0
y>0
y
>
0
，且
ln
y
=
2
x
+
1
\ln y=2x+1
ln
y
=
2
x
+
1
，所以
x
=
ln
y
−
1
2
x=\dfrac{\ln y-1}{2}
x
=
2
ln
y
−
1
. 交换
x
x
x
、
y
y
y
得反函数
y
=
1
2
(
ln
x
−
1
)
y=\dfrac{1}{2}(\ln x-1)
y
=
2
1
(
ln
x
−
1
)
，其定义域为原函数的值域
x
>
0
x>0
x
>
0
. \end{solution}
2008 · 辽宁 · 文 · 第 13 题 · 填空题
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13
函数与初等函数
★☆☆☆☆
设
g
(
x
)
=
{
e
x
,
x
⩽
0
,
ln
x
,
x
>
0
,
g(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^x, & x \leqslant 0,\\ \ln x, & x > 0, \end{cases}
g
(
x
)
=
{
e
x
,
ln
x
,
x
⩽
0
,
x
>
0
,
则
g
(
g
(
1
2
)
)
=
g\left(g\left(\frac{1}{2}\right)\right) =
g
(
g
(
2
1
)
)
=
______.
2006 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题
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