函数 $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ 的最小正周期和最大值分别为（ ）

\begin{answer}A\end{answer}

\begin{solution} 利用和差化积公式， 所以函数的最小正周期为 $\pi$，最大值为 $1$，故选 A. \end{solution}

给出下列三个等式：$f(xy) = f(x) + f(y)$，$f(x + y) = f(x)f(y)$，$f(x + y) = \frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x)f(y)}$. 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）

\begin{answer}B\end{answer}

\begin{solution} 对 $f(x)=3^x$，有 $f(x+y)=3^{x+y}=3^x3^y=f(x)f(y)$，满足第二个等式. 对 $f(x)=\log_2x$，在 $x$，$y>0$ 时有 $f(xy)=\log_2(xy)=\log_2x+\log_2y$，满足第一个等式. 对 $f(x)=\tan x$，在两边有定义且分母不为零时，由正切的和角公式满足第三个等式.

而 $f(x)=\sin x$ 不满足第一个等式，例如取 $x=y=\frac{\pi}{2}$，有 $\sin(xy)=\sin\frac{\pi^2}{4}\neq2$；也不满足第二个等式，例如取 $x=y=\frac{\pi}{2}$，有 $\sin(x+y)=0\neq1$；第三个等式是正切的和角公式，正弦函数也不满足，例如取 $x=y=\frac{\pi}{6}$，左边为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，右边为 $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$. 因此选 B. \end{solution}