原点关于直线 $8x + 6y = 25$ 的对称点坐标为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 原点到直线的垂足在法向量 $(8,6)$ 方向上，设垂足为 $(8t,6t)$. 代入直线方程得 $8\cdot8t+6\cdot6t=25$，即 $100t=25$，所以垂足为 $\left(2,\frac{3}{2}\right)$. 对称点是原点关于垂足的中心对称点，故坐标为 $\left(4,3\right)$. 故选 D. \end{solution}

焦点为 $F_{1}(-2,0)$ 和 $F_{2}(6,0)$，离心率为 $2$ 的双曲线的方程是______.

\begin{answer} $\frac{\left(x-2\right)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ \end{answer}

\begin{solution} 两焦点中点为 $(2,0)$，焦半距为 $c=4$. 由离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，得半实轴 $a=2$. 双曲线满足 $c^2=a^2+b^2$，所以 $b^2=4^2-2^2=12$. 因焦点在水平轴上，方程为 $\frac{(x-2)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$. \end{solution}