在 $\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^8$ 的展开式中常数项是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 取展开式中第二项因子的次数为 $k$，其一般项为 $\mathrm C_8^k\left(\frac{x}{2}\right)^{8-k}\left(-x^{-\frac{1}{3}}\right)^k$，其中 $x$ 的指数为 $8-k-\frac{k}{3}=8-\frac{4k}{3}$. 常数项要求 $8-\frac{4k}{3}=0$，所以 $k=6$. 此时常数项为 $\mathrm C_8^6\left(\frac{1}{2}\right)^2(-1)^6=28\cdot\frac{1}{4}=7$. 故选 C. \end{solution}

设含有 $10$ 个元素的集合的全部子集数为 $S$，其中由 $3$ 个元素组成的子集数为 $T$，则 $\frac{T}{S}$ 的值为______.

\begin{answer} $\frac{15}{128}$ \end{answer}

\begin{solution} 含有 $10$ 个元素的集合的每个元素都有“取入子集”或“不取入子集”两种选择，所以 $S=2^{10}=1024$. 从其中选出 $3$ 个元素组成子集的方法数为 $T=\mathrm C_{10}^{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120$. 因而 $\frac{T}{S}=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}$. \end{solution}