$\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{3^n}\right]$ 的值为______.

\begin{answer} $\frac{1}{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 括号内是首项为 $\frac{1}{3}$、公比为 $-\frac{1}{3}$ 的等比数列前 $n$ 项和，因此 $S_n=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{4}\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)$. 因为 $\left(-\frac{1}{3}\right)^n\to0$，所以原极限为 $\frac{1}{4}$. \end{solution}