如果函数 $y=\sin(\omega x)\cos(\omega x)$ 的最小正周期是 $4\pi$，那么常数 $\omega$ 为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 利用二倍角公式，$y=\frac{1}{2}\sin(2\omega x)$. 因而其最小正周期为 $\frac{2\pi}{2|\omega|}=\frac{\pi}{|\omega|}$. 由题设 $\frac{\pi}{|\omega|}=4\pi$，得 $|\omega|=\frac{1}{4}$. 按三角函数中角频率取正值的约定，$\omega=\frac{1}{4}$，故选 D. \end{solution}

在 $[0,2\pi]$ 上满足 $\sin x \geqslant \frac{1}{2}$ 的 $x$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 在一个周期内，$\sin x=\frac{1}{2}$ 的两个交点为 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{5\pi}{6}$. 正弦函数在这两个点之间不小于 $\frac{1}{2}$，而在其余部分小于该值，所以在 $[0,2\pi]$ 上的解集为 $\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$. 故选 B. \end{solution}

已知 $\alpha$ 在第三象限且 $\tan \alpha = 2$，则 $\cos \alpha$ 的值是______.

\begin{answer} $-\frac{\sqrt{5}}{5}$ \end{answer}

\begin{solution} 由恒等式 $1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha$，得 $\sec^2\alpha=1+2^2=5$，所以 $|\cos\alpha|=\frac{1}{\sqrt{5}}$. 因为 $\alpha$ 在第三象限，$\cos\alpha<0$，故 $\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$. \end{solution}