设数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1} = 1$，$a_{n+1} = 3a_{n}$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$； (2) 已知 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，$T_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $b_{1}=a_{2}$，$b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}$，求 $T_{20}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由递推关系，每增加一个下标就乘以 $3$，且 $a_1=1$，所以 这是首项为 $1$、公比为 $3$ 的等比数列，故前 $n$ 项和为 \item 由第（1）问 $a_2=3$，$a_1+a_2+a_3=1+3+9=13$. 因此 $b_1=3$，$b_3=13$. 设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$，则 $b_3=b_1+2d$，$\Longrightarrow$，$13=3+2d$，$d=5$. 所以 \end{enumerate} \end{solution}