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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 a=20.5a = 2^{0.5}，b=log⁡π3b = \log_{\pi} 3，c=log⁡2sin⁡2π5c = \log_2 \sin \frac{2\pi}{5}，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 因为 1<3<π1<3<\pi，且对数的底数 π>1\pi>1，所以 0<b=log⁡π3<10<b=\log_{\pi}3<1. 又因为 a=2>1a=\sqrt{2}>1，且 0<sin⁡2π5<10<\sin\frac{2\pi}{5}<1，故 c=log⁡2sin⁡2π5<0c=\log_2\sin\frac{2\pi}{5}<0. 因此 a>b>ca>b>c，故选 A. \end{solution}
A.
a>b>ca > b > c
B.
b>a>cb > a > c
C.
c>a>bc > a > b
D.
b>c>ab > c > a

2008 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
“函数 f(x)f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）存在反函数”是“函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上为增函数”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数在 R\mathbf{R} 上为增函数时，对任意 x1<x2x_1<x_2 都有 f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2)，因此函数为单射，从而存在反函数. 反过来，存在反函数只说明函数为单射，不一定为增函数；例如 f(x)=−xf(x)=-x 在 R\mathbf{R} 上存在反函数，但它为减函数. 所以“存在反函数”是“在 R\mathbf{R} 上为增函数”的必要而不充分条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2008 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足
{x−y+1⩾0,x+y⩾0,x⩽0,\begin{cases} x - y + 1 \geqslant 0,\\ x + y \geqslant 0,\\ x \leqslant 0, \end{cases}
则 z=3x+2yz = 3^{x + 2y} 的最小值是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由约束条件得 y⩽x+1y\leqslant x+1，y⩾−xy\geqslant-x，且 x⩽0x\leqslant0. 可行的 xx 还需满足 −x⩽x+1-x\leqslant x+1，所以 −12⩽x⩽0-\frac12\leqslant x\leqslant0. 因为 3t3^t 在 R\mathbf{R} 上递增，先求 x+2yx+2y 的最小值. 对固定的 xx，取最小的 y=−xy=-x，于是 x+2y=−x⩾0x+2y=-x\geqslant0，且在 x=0x=0 时取得最小值 00. 因此 zmin⁡=30=1z_{\min}=3^0=1，故选 B. \end{solution}
A.
00
B.
11
C.
3\sqrt{3}
D.
99

2008 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 对任意的 pp，q∈N∗q \in \mathbf{N}^{*} 满足 ap+q=ap+aqa_{p + q} = a_p + a_q，且 a2=−6a_2 = -6，那么 a10a_{10} 等于（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 取 p=q=1p=q=1，得 a2=2a1a_2=2a_1，所以 a1=−3a_1=-3. 对任意正整数 nn，取 p=np=n、q=1q=1，有 an+1=an+a1a_{n+1}=a_n+a_1. 用数学归纳法证明 an=−3na_n=-3n：当 n=1n=1 时，a1=−3a_1=-3 成立；若 an=−3na_n=-3n，则 an+1=an+a1=−3n−3=−3(n+1)a_{n+1}=a_n+a_1=-3n-3=-3(n+1). 因此 a10=−3×10=−30a_{10}=-3\times10=-30，故选 C. \end{solution}
A.
−165-165
B.
−33-33
C.
−30-30
D.
−21-21

2008 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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09复数★★☆☆☆
已知 (a−i)2=2i(a - \mathrm{i})^2 = 2\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，那么实数 a=a =______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 展开左边得 (a−i)2=a2−1−2ai(a-\mathrm{i})^2=a^2-1-2a\mathrm{i}. 与 2i2\mathrm{i} 比较实部和虚部，得到 a2−1=0a^2-1=0 以及 −2a=2-2a=2. 后一个等式给出 a=−1a=-1，且满足前一个等式，故填 −1-1. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 120∘120^{\circ}，且 ∣a∣=∣b∣=4|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 4，那么 b⋅(2a+b)\boldsymbol{b} \cdot (2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) 的值为______.
\begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 由向量夹角公式，a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡120∘=4⋅4⋅(−12)=−8\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos120^{\circ}=4\cdot4\cdot\left(-\frac12\right)=-8. 因此 b⋅(2a+b)=2a⋅b+b⋅b=2(−8)+42=0\boldsymbol{b}\cdot(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}=2(-8)+4^2=0，故填 00. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x2+1x3)n\left(x^{2} + \frac{1}{x^{3}}\right)^{n} 展开式的各项系数之和为 3232，则 n=‾n =\underline{\hspace{2em}}，其展开式中的常数项为______. （用数字作答）
\begin{answer} 55，1010 \end{answer}
\begin{solution} 令展开式中的 x2x^2 取 kk 次，则通项为 Cnk(x2)k(1x3)n−k=Cnkx5k−3n\mathrm C_n^k(x^2)^k\left(\frac1{x^3}\right)^{n-k}=\mathrm C_n^k x^{5k-3n}. 各项系数之和等于令 x=1x=1 时的值，所以 2n=322^n=32，得到 n=5n=5. 常数项要求 5k−3n=05k-3n=0，代入 n=5n=5 得 k=3k=3，其系数为 C53=10\mathrm C_5^3=10. 故填 55，1010. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
如图，函数 f(x)f(x) 的图象是折线段 ABCABC，其中 AA，BB，CC 的坐标分别为 (0,4)(0,4)，(2,0)(2,0)，(6,4)(6,4)，则 f(f(0))=f(f(0)) =______；lim⁡Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} =______. （用数字作答）
\begin{answer} 22，−2-2 \end{answer}
\begin{solution} 在 A(0,4)A(0,4)、B(2,0)B(2,0) 所在的线段上，斜率为 −2-2，所以 f(x)=4−2xf(x)=4-2x（0⩽x⩽20\leqslant x\leqslant2）；在 B(2,0)B(2,0)、C(6,4)C(6,4) 所在的线段上，斜率为 11，所以 f(x)=x−2f(x)=x-2（2⩽x⩽62\leqslant x\leqslant6）. 于是 f(0)=4f(0)=4，f(f(0))=f(4)=2f(f(0))=f(4)=2.
当 Δx\Delta x 足够小时，1+Δx∈[0,2]1+\Delta x\in[0,2]，故 f(1+Δx)−f(1)Δx=[4−2(1+Δx)]−[4−2]Δx=−2\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{[4-2(1+\Delta x)]-[4-2]}{\Delta x}=-2. 所以极限为 −2-2，故填 22，−2-2. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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