若 $\left(x^{2} + \frac{1}{x^{3}}\right)^{n}$ 展开式的各项系数之和为 $32$，则 $n =\underline{\hspace{2em}}$，其展开式中的常数项为______. （用数字作答）

\begin{answer} $5$，$10$ \end{answer}

\begin{solution} 令展开式中的 $x^2$ 取 $k$ 次，则通项为 $\mathrm C_n^k(x^2)^k\left(\frac1{x^3}\right)^{n-k}=\mathrm C_n^k x^{5k-3n}$. 各项系数之和等于令 $x=1$ 时的值，所以 $2^n=32$，得到 $n=5$. 常数项要求 $5k-3n=0$，代入 $n=5$ 得 $k=3$，其系数为 $\mathrm C_5^3=10$. 故填 $5$，$10$. \end{solution}