“函数 $f(x)$（$x \in \mathbf{R}$）存在反函数”是“函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数”的（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 函数在 $\mathbf{R}$ 上为增函数时，对任意 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)<f(x_2)$，因此函数为单射，从而存在反函数. 反过来，存在反函数只说明函数为单射，不一定为增函数；例如 $f(x)=-x$ 在 $\mathbf{R}$ 上存在反函数，但它为减函数. 所以“存在反函数”是“在 $\mathbf{R}$ 上为增函数”的必要而不充分条件，故选 B. \end{solution}

如图，函数 $f(x)$ 的图象是折线段 $ABC$，其中 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别为 $(0,4)$，$(2,0)$，$(6,4)$，则 $f(f(0)) =$______；$\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} =$______. （用数字作答）

\begin{answer} $2$，$-2$ \end{answer}

\begin{solution} 在 $A(0,4)$、$B(2,0)$ 所在的线段上，斜率为 $-2$，所以 $f(x)=4-2x$（$0\leqslant x\leqslant2$）；在 $B(2,0)$、$C(6,4)$ 所在的线段上，斜率为 $1$，所以 $f(x)=x-2$（$2\leqslant x\leqslant6$）. 于是 $f(0)=4$，$f(f(0))=f(4)=2$.

当 $\Delta x$ 足够小时，$1+\Delta x\in[0,2]$，故 $\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{[4-2(1+\Delta x)]-[4-2]}{\Delta x}=-2$. 所以极限为 $-2$，故填 $2$，$-2$. \end{solution}