“函数 $f(x)$（$x \in \mathbf{R}$）存在反函数”是“函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数”的（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 函数在 $\mathbf{R}$ 上为增函数时，对任意 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)<f(x_2)$，因此函数为单射，从而存在反函数. 反过来，存在反函数只说明函数为单射，不一定为增函数；例如 $f(x)=-x$ 在 $\mathbf{R}$ 上存在反函数，但它为减函数. 所以“存在反函数”是“在 $\mathbf{R}$ 上为增函数”的必要而不充分条件，故选 B. \end{solution}