在直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $P(2\cos x+1, 2\cos 2x+2)$ 和点 $Q(\cos x,-1)$，其中 $x \in [0,\pi]$. 若向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $\overrightarrow{OQ}$ 垂直，求 $x$ 的值.