在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 的中心为原点，焦点 $F_{1}$，$F_{2}$ 在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，且 $\triangle ABF_{2}$ 的周长为 $16$，那么 $C$ 的方程为______.