已知函数 $f(x)$ 是 $(- \infty, +\infty)$ 上的偶函数，若对于 $x \geqslant 0$，都有 $f(x + 2) = f(x)$，且当 $x \in [0, 2)$ 时，$f(x) = \log_2(x + 1)$，则 $f(-2008) + f(2009)$ 的值为（ ）

\begin{solution} 由偶函数性质，$f(-2008)=f(2008)$. 对 $x\geqslant0$ 反复使用 $f(x+2)=f(x)$，得 $f(2008)=f(0)$，$f(2009)=f(1)$. 又 $f(x)=\log_{2}(x+1)$（$0\leqslant x<2$），所以 $f(0)=\log_{2}1=0$，$f(1)=\log_{2}2=1$. 因而 $f(-2008)+f(2009)=1$，故选 C. \end{solution}

设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两个焦点. 若 $F_{1}$，$F_{2}$， $P(0,2b)$ 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）

\begin{solution} 设双曲线的焦距参数为 $c$，则 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$，且 $F_{1}F_{2}=2c$. 正三角形条件给出 $PF_{1}=PF_{2}=F_{1}F_{2}=2c$. 由 $P(0,2b)$ 得 $PF_{1}^{2}=c^{2}+4b^{2}$，所以 $c^{2}+4b^{2}=4c^{2}$，即 $4b^{2}=3c^{2}$. 与 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 联立，得 $b^{2}=3a^{2}$，$c^{2}=4a^{2}$. 因而离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，故选 B. \end{solution}

体积为 $8$ 的一个正方体，其全面积与球 $O$ 的表面积相等，则球 $O$ 的体积等于______.

\begin{solution} 正方体体积为 $8$，故棱长为 $2$，全面积为 $6\cdot2^{2}=24$. 设球半径为 $R$，由表面积相等， $4\pi R^{2}=24$，所以 $R^{2}=\frac{6}{\pi}$. 球体积为 $\frac43\pi R^{3}=\frac43\pi\left(\frac6\pi\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{8\sqrt{6\pi}}{\pi}$. \end{solution}