方程 $\sin 2x=\sin x$ 在区间 $(0,2\pi)$ 内的解个数是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 方程可化为 $\sin 2x-\sin x=0$，即 $\sin x(2\cos x-1)=0$. 在区间 $(0,2\pi)$ 内，$\sin x=0$ 给出 $x=\pi$，而 $\cos x=\frac{1}{2}$ 给出 $x=\frac{\pi}{3}$，$\frac{5\pi}{3}$. 这三个解互不相同，所以解的个数为 $3$，故选 C. \end{solution}

如图是函数 $y=2\sin\left( \omega x+\varphi \right)$（$\left| \varphi \right|<\frac{\pi}{2}$）的图象，那么（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由图象在 $x=0$ 处的函数值为 $1$，得 $2\sin\varphi=1$. 结合 $\lvert\varphi\rvert<\frac{\pi}{2}$，可知 $\varphi=\frac{\pi}{6}$. 图象还显示在 $x=\frac{11\pi}{12}$ 处曲线由下向上经过 $x$ 轴，所以此时相位为 $2\pi$，从而 $\omega\frac{11\pi}{12}+\frac{\pi}{6}=2\pi$，解得 $\omega=2$. 因此选 C. \end{solution}

函数 $y=\frac{\sin x}{\left| \sin x \right|}+\frac{\left| \cos x \right|}{\cos x}+\frac{\tan x}{\left| \tan x \right|}+\frac{\left| \cot x \right|}{\cot x}$ 的值域是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 定义域要求 $\sin x\neq0$ 且 $\cos x\neq0$. 记 $s=\frac{\sin x}{\lvert\sin x\rvert}$，$c=\frac{\lvert\cos x\rvert}{\cos x}$，则 $s$，$c\in\{1,-1\}$，且 $\frac{\tan x}{\lvert\tan x\rvert}=sc$，$\frac{\lvert\cot x\rvert}{\cot x}=sc$. 所以函数值为 $s+c+2sc$. 在第一、二、三、四象限中，$(s,c)$ 分别为 $(1,1)$、$(1,-1)$、$(-1,-1)$、$(-1,1)$，对应函数值分别为 $4$、$-2$、$0$、$-2$. 因此值域为 $\{-2,0,4\}$，故选 B. \end{solution}

已知 $\sin \alpha+\sin \beta=\frac{1}{4}$，$\cos \alpha+\cos \beta=\frac{1}{3}$，求 $\tan(\alpha+\beta)$ 的值.