设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+a\mathrm{e}^{-x}$（$a$ 为常数），若 $f(x)$ 为奇函数，则 $a=\underline{\hspace{2em}}$；若 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是______.