$x = 2k\pi + \frac{\pi}{4}$ （$k \in \mathbf{Z}$） 是“$\tan x = 1$”成立的（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设条件 $p$：$x=2k\pi+\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbf{Z}$，条件 $q$：$\tan x=1$. 若 $p$ 成立，则 $\tan x=\tan\left(2k\pi+\frac{\pi}{4}\right)=1$，所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件.

但 $q$ 的一般解为 $x=k\pi+\frac{\pi}{4}$，例如 $x=\frac{5\pi}{4}$ 满足 $q$，却不能写成 $2k\pi+\frac{\pi}{4}$. 所以 $p$ 不是 $q$ 的必要条件，故选 A，即充分不必要条件. \end{solution}

已知 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，化简： $\lg \left(\cos x \cdot \tan x + 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}\right) + \lg \left[ \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \right] - \lg (1 + \sin 2x)$.