设 $\lg 2=a$，则 $\log_2 25=$______.

\begin{answer} $\dfrac{2(1-a)}{a}$ \end{answer}

\begin{solution} 由换底公式，$\log_2 25=\dfrac{\lg25}{\lg2}=\dfrac{2\lg5}{a}$. 又因为 $\lg5=\lg\dfrac{10}{2}=1-\lg2=1-a$，所以 $\log_2 25=\dfrac{2(1-a)}{a}$. 由于 $a=\lg2>0$，分母不为零，变形合法. \end{solution}

已知 $O$ 为直角坐标系的原点，$A$ 点的坐标为 $(1,3)$，$B$ 点的坐标为 $(0,3)$，若把 $\triangle OAB$ 绕 $y$ 轴旋转一周，则所得旋转体的体积是______.

\begin{answer} $\pi$ \end{answer}

\begin{solution} 线段 $OA$ 经过 $(0,0)$ 和 $(1,3)$，方程为 $x=\dfrac{y}{3}$. 三角形内部在 $0\leqslant y\leqslant3$ 时满足 $0\leqslant x\leqslant\dfrac{y}{3}$. 因而在高度 $y$ 处的截面绕 $y$ 轴旋转后是半径为 $\dfrac{y}{3}$ 的圆盘.

所以旋转体的体积为 \end{solution}

在平面直角坐标系内，画出下列方程的曲线（只要求画出图形）：

(1) $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -1$； (2) $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = -1$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将方程乘以 $6$，得 $2x-3y=-6$，即 $y=\dfrac{2}{3}x+2$. 令 $y=0$，得横轴截距 $(-3,0)$；令 $x=0$，得纵轴截距 $(0,2)$. 过这两点作直线，即为所求曲线. \item 移项得 $\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}{9}=1$. 这是中心在原点、实轴在 $y$ 轴上的双曲线，令 $x=0$ 得顶点为 $(0,2)$ 和 $(0,-2)$. 由标准双曲线方程可知其渐近线为 $y=\dfrac{2}{3}x$ 和 $y=-\dfrac{2}{3}x$；也可由 $y=\pm\dfrac{2}{3}\sqrt{x^2+9}$ 看出这一点. 因而图形有上、下两支，分别位于 $y\geqslant2$ 和 $y\leqslant-2$ 的区域，并以这两条直线为渐近线. \end{enumerate} \end{solution}