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03不等式★★☆☆☆
若
∣x2y2−11∣=∣xxy−y∣\left|\begin{matrix}x^2 & y^2 \\ -1 & 1\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}x & x \\ y & -y\end{matrix}\right|
，则 x+y=x+y=______. \begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 计算两个行列式，原等式化为
x2+y2=−2xyx^2+y^2=-2xy
移项得
x2+2xy+y2=(x+y)2=0x^2+2xy+y^2=(x+y)^2=0
所以 x+y=0x+y=0. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 若 3a2+2ab+3b2−3c2=03a^2+2ab+3b^2-3c^2=0，则角 CC 的大小是______. （结果用反三角函数值表示） \begin{answer} π−arccos⁡(13)\pi-\arccos\left(\frac{1}{3}\right) \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，
c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C
将其代入题设条件，得
3a2+2ab+3b2−3(a2+b2−2abcos⁡C)=03a^2+2ab+3b^2-3(a^2+b^2-2ab\cos C)=0
即 2ab(1+3cos⁡C)=02ab(1+3\cos C)=0. 三角形边长 aa，b>0b>0，故
cos⁡C=−13\cos C=-\frac{1}{3}
由于 0<C<π0<C<\pi，
C=arccos⁡(−13)=π−arccos⁡(13)C=\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)=\pi-\arccos\left(\frac{1}{3}\right)
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}. 若 (x2+ax)5\left(x^2+\frac{a}{x}\right)^5 的二项展开式中 x7x^7 项的系数为 −10-10，则 a=a=______. \begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 展开式的第 k+1k+1 项为 C5k(x2)5−k(ax)k=C5kakx10−3k\mathrm C_5^k(x^2)^{5-k}\left(\frac{a}{x}\right)^k =\mathrm C_5^k a^k x^{10-3k}，k=0k=0，11，…\ldots，55. 含 x7x^7 项时 10−3k=710-3k=7，所以 k=1k=1，该项系数为 C51a=5a\mathrm C_5^1 a=5a. 由 5a=−105a=-10，得 a=−2a=-2. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 33x−1+13=3x−1\frac{3}{3^x-1}+\frac{1}{3}=3^{x-1} 的实数解为______. \begin{answer} log⁡34\log_{3}4 \end{answer}
\begin{solution} 原方程的定义域要求 3x−1≠03^x-1\ne0，即 x≠0x\ne0. 令 t=3xt=3^x，则 t>0t>0 且 t≠1t\ne1. 方程化为
3t−1+13=t3\frac{3}{t-1}+\frac{1}{3}=\frac{t}{3}
两边同乘 3(t−1)3(t-1)，得
9+t−1=t(t−1)9+t-1=t(t-1)
即 t2−2t−8=0t^2-2t-8=0，所以 t=4t=4 或 t=−2t=-2. 因 t>0t>0，只能取 t=4t=4，从而
x=log⁡34x=\log_3 4
该值不为零，满足定义域要求. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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08概率与统计★★☆☆☆
盒子中装有编号为 11，22，33，44，55，66，77，88，99 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______.（结果用最简分数表示） \begin{answer} 1318\frac{13}{18} \end{answer}
\begin{solution} 任取两个球的总数为
C92=36\mathrm C_9^2=36
乘积为奇数当且仅当两个球的编号都是奇数，故不满足条件的取法有
C52=10\mathrm C_5^2=10
因此乘积为偶数的取法有 36−10=2636-10=26 种，所求概率为
2636=1318\frac{26}{36}=\frac{13}{18}
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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11三角函数★★☆☆☆
若 cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=12\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{2}，sin⁡2x+sin⁡2y=23\sin 2x+\sin 2y=\frac{2}{3}，则 sin⁡(x+y)=\sin(x+y)=______. \begin{answer} 23\frac{2}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由三角恒等式，第一式左边为
cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=cos⁡(x−y)=12\cos x\cos y+\sin x\sin y=\cos(x-y)=\frac{1}{2}
又
sin⁡2x+sin⁡2y=2sin⁡(x+y)cos⁡(x−y)=23\sin2x+\sin2y=2\sin(x+y)\cos(x-y)=\frac{2}{3}
代入 cos⁡(x−y)=12\cos(x-y)=\frac12，得
sin⁡(x+y)=232⋅(12)=23\sin(x+y)=\frac{\frac{2}{3}}{2\cdot(\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} “便宜没好货”表示好货一定不便宜，即若一件货物是好货，则它不便宜. 因此“不便宜”是“好货”的必要条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分条件
B.
必要条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分也非必要条件

2013 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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