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03函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x)，g(x)g(x) 分别是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数和奇函数，且 f(x)−g(x)=x3+x2+1f(x) - g(x) = x^{3} + x^{2} + 1，则 f(1)+g(1)=f(1) + g(1) =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 把题设等式中的 xx 换成 −x-x，并利用 ff 为偶函数、gg 为奇函数，得
f(x)+g(x)=(−x)3+(−x)2+1=−x3+x2+1f(x)+g(x)=(-x)^3+(-x)^2+1=-x^3+x^2+1
令 x=1x=1，得到 f(1)+g(1)=−1+1+1=1f(1)+g(1)=-1+1+1=1，故选 C. \end{solution}
A.
−3-3
B.
−1-1
C.
11
D.
33

2014 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(12x−2y)5\left(\frac{1}{2}x - 2y\right)^5 的展开式中 x2y3x^2 y^3 的系数是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 要得到 x2y3x^2y^3，需从五个因式中取两次 x2\frac{x}{2}，取三次 −2y-2y. 因而所求系数为
C53(12)2(−2)3=10⋅14⋅(−8)=−20\mathrm C_5^3\left(\frac{1}{2}\right)^2(-2)^3 =10\cdot\frac{1}{4}\cdot(-8)=-20
故选 A. \end{solution}
A.
−20-20
B.
−5-5
C.
55
D.
2020

2014 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知命题 pp 若 x>yx > y，则 −x<−y-x < -y；命题 qq 若 x>yx > y，则 x2>y2x^2 > y^2，在命题
① p∧qp \wedge q； ② p∨qp \vee q； ③ p∧(¬q)p \wedge (\neg q)； ④ (¬p)∨q(\neg p) \vee q
中，真命题是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 若 x>yx>y，两边同乘以 −1-1 后不等号方向改变，必有 −x<−y-x<-y，所以命题 pp 为真. 命题 qq 不恒真，例如取 x=0x=0，y=−1y=-1，则 x>yx>y，但 x2=0<1=y2x^2=0<1=y^2，所以 qq 为假，¬q\neg q 为真.
因此，命题 p∧qp\wedge q 为假，p∨qp\vee q 为真，p∧(¬q)p\wedge(\neg q) 为真，(¬p)∨q(\neg p)\vee q 为假. 真命题为第 22、第 33 个，故选 C. \end{solution}
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
C.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}
D.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}

2014 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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08不等式★★☆☆☆
某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为 pp，第二年的增长率为 qq，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设第一年初生产总值为 GG，两年平均增长率为 rr. 两年后生产总值一方面为 G(1+p)(1+q)G(1+p)(1+q)，另一方面为 G(1+r)2G(1+r)^2. 因此
(1+r)2=(1+p)(1+q)(1+r)^2=(1+p)(1+q)
由于连续两年增长，取正平方根得 1+r=(1+p)(1+q)1+r=\sqrt{(1+p)(1+q)}，所以
r=(1+p)(1+q)−1r=\sqrt{(1+p)(1+q)}-1
故选 D. \end{solution}
A.
p+q2\frac{p + q}{2}
B.
(p+1)(q+1)−12\frac{\left(p + 1\right)\left(q + 1\right) - 1}{2}
C.
pq\sqrt{pq}
D.
(p+1)(q+1)−1\sqrt{\left(p + 1\right)\left(q + 1\right)} - 1

2014 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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11解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系中，倾斜角为 π4\frac{\pi}{4} 的直线 ll 与曲线
C:{x=2+cos⁡α,y=1+sin⁡α.C: \begin{cases} x = 2 + \cos \alpha,\\ y = 1 + \sin \alpha. \end{cases}
（α\alpha 为参数）交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=2|AB| = 2，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 ll 的极坐标方程是______. \begin{answer} ρ(cos⁡θ−sin⁡θ)=1\rho(\cos\theta-\sin\theta)=1 \end{answer}
\begin{solution} 曲线 CC 是圆 (x−2)2+(y−1)2=1(x-2)^2+(y-1)^2=1，圆心为 (2,1)(2,1)，半径为 11. 弦长 ∣AB∣=2|AB|=2 等于直径，所以直线 ll 经过圆心. 其倾斜角为 π4\frac{\pi}{4}，斜率为 11，故
y−1=x−2y-1=x-2
即 y=x−1y=x-1. 代入 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta，y=ρsin⁡θy=\rho\sin\theta，得
ρsin⁡θ=ρcos⁡θ−1\rho\sin\theta=\rho\cos\theta-1
所以直线的极坐标方程为 ρ(cos⁡θ−sin⁡θ)=1\rho(\cos\theta-\sin\theta)=1. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若关于 xx 的不等式 ∣ax−2∣<3\left|ax - 2\right| < 3 的解集为 {x∣−53<x<13}\left\{x\mid -\frac{5}{3} < x < \frac{1}{3}\right\}，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} −3-3 \end{answer}
\begin{solution} 由绝对值不等式得
−3<ax−2<3-3<ax-2<3
即 −1<ax<5-1<ax<5. 若 a=0a=0，则不等式恒成立，解集为 R\mathbf{R}，与题设不符. 若 a>0a>0，则解集为 (−1a,5a)\left(-\frac{1}{a},\frac{5}{a}\right)，其左端点与右端点的绝对值之比为 1:51:5，与题给解集不符. 因而 a<0a<0，除以 aa 时不等号方向改变，解集为 (5a,−1a)\left(\frac{5}{a},-\frac{1}{a}\right). 比较端点得 5a=−53\frac{5}{a}=-\frac{5}{3}，所以 a=−3a=-3，并且右端点也确为 −1a=13-\frac{1}{a}=\frac{1}{3}. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩽4,y⩾k,\begin{cases} y \leqslant x,\\ x + y \leqslant 4,\\ y \geqslant k, \end{cases}
且 z=2x+yz = 2x + y 的最小值为−6-6，则 k=k =______. \begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 由 y⩽xy\leqslant x 及目标函数中 xx 的系数为正，对固定的 yy，使 z=2x+yz=2x+y 取得最小值时应取 x=yx=y. 于是 z⩾3yz\geqslant3y. 约束还给出 y⩾ky\geqslant k，所以在可行域内
z⩾3y⩾3kz\geqslant3y\geqslant3k
取 x=y=kx=y=k 时，第三个约束和第一个约束均满足；只要可行域存在，还需 2k⩽42k\leqslant4，本题所得 kk 满足这一条件. 因而最小值为 3k3k，由 3k=−63k=-6 得 k=−2k=-2. 此时 (x,y)=(−2,−2)(x,y)=(-2,-2) 可行，故结论成立. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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