在平面直角坐标系中，倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线 $l$ 与曲线 （$\alpha$ 为参数）交于 $A$，$B$ 两点，且 $|AB| = 2$，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 $l$ 的极坐标方程是______. \begin{answer} $\rho(\cos\theta-\sin\theta)=1$ \end{answer}

\begin{solution} 曲线 $C$ 是圆 $(x-2)^2+(y-1)^2=1$，圆心为 $(2,1)$，半径为 $1$. 弦长 $|AB|=2$ 等于直径，所以直线 $l$ 经过圆心. 其倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$，斜率为 $1$，故 即 $y=x-1$. 代入 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，得 所以直线的极坐标方程为 $\rho(\cos\theta-\sin\theta)=1$. \end{solution}