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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
“ a=1a = 1 ”是“直线 x+y=0x + y = 0 和直线 x−ay=0x - ay = 0 互相垂直”的（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 直线 x+y=0x+y=0 的一个方向向量为 (1,−1)(1,-1)，直线 x−ay=0x-ay=0 的一个方向向量为 (a,1)(a,1). 两直线互相垂直当且仅当 (1,−1)⋅(a,1)=a−1=0(1,-1)\cdot(a,1)=a-1=0，即 a=1a=1. 因此“a=1a=1”既是两直线互相垂直的充分条件，也是必要条件，故选 C. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2008 · 福建 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，若 a2=3a_{2} = 3，a7=13a_{7} = 13，则数列 {an}\{a_{n}\} 前 8 项的和为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd. 由 a7=a2+5da_7=a_2+5d，得 5d=a7−a2=13−3=105d=a_7-a_2=13-3=10，所以 d=2d=2，a1=a2−d=3−2=1a_1=a_2-d=3-2=1. 因此前 8 项的和为 S8=82(2a1+7d)=4(2×1+7×2)=64S_8=\frac{8}{2}\bigl(2a_1+7d\bigr)=4\bigl(2\times1+7\times2\bigr)=64，故选 C. \end{solution}
A.
128
B.
80
C.
64
D.
56

2008 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=x3+sin⁡x+1f(x) = x^3 + \sin x + 1（x∈Rx \in \mathbf{R}），若 f(a)=2f(a) = 2，则 f(−a)f(-a) 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 f(a)=2f(a)=2，得 a3+sin⁡a=1a^3+\sin a=1. 又 f(−a)=(−a)3+sin⁡(−a)+1=−a3−sin⁡a+1=0f(-a)=(-a)^3+\sin(-a)+1=-a^3-\sin a+1=0，故选 B. \end{solution}
A.
3
B.
0
C.
−1-1
D.
−2-2

2008 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=BC=2AB = BC = 2，AA1=1AA_{1} = 1，则 AC1AC_{1} 与平面 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 所成角的正弦值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 线段 AC1AC_1 在平面 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 上的射影为 A1C1A_1C_1. 由 AB=BC=2AB=BC=2，得 A1C1=AB2+BC2=22A_1C_1=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt2. 又 AA1=1AA_1=1，所以 AC1=A1C12+AA12=8+1=3AC_1=\sqrt{A_1C_1^2+AA_1^2}=\sqrt{8+1}=3. 设 AC1AC_1 与该平面所成的角为 θ\theta，则 sin⁡θ=AA1AC1=13\sin\theta=\dfrac{AA_1}{AC_1}=\dfrac13，故选 D. \end{solution}
A.
223\frac{2\sqrt{2}}{3}
B.
23\frac{2}{3}
C.
24\frac{\sqrt{2}}{4}
D.
13\frac{1}{3}

2008 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，若 a2+c2−b2=3aca^2 + c^2 - b^2 = \sqrt{3}ac，则角 BB 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B. 结合题设得 2accos⁡B=3ac2ac\cos B=\sqrt3ac. 因为三角形边长 aa，c>0c>0，所以 cos⁡B=32\cos B=\frac{\sqrt3}{2}. 由于 0<B<π0<B<\pi，故 B=π6B=\frac\pi6，选 A. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π6\frac{\pi}{6} 或 5π6\frac{5\pi}{6}
D.
π3\frac{\pi}{3} 或 2π3\frac{2\pi}{3}

2008 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
某班级要从 4 名男生，2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 从 6 人中任取 4 人共有 C64\mathrm C_6^4 种方案，其中不含女生的方案只有从 4 名男生中全取，计 C44\mathrm C_4^4 种. 因而至少有 1 名女生的方案数为 C64−C44=15−1=14\mathrm C_6^4-\mathrm C_4^4=15-1=14，故选 A. \end{solution}
A.
14
B.
24
C.
28
D.
48

2008 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足
{x−y+1⩽0,x>0,y⩽2,\begin{cases} x - y + 1 \leqslant 0,\\ x > 0,\\ y \leqslant 2, \end{cases}
则 yx\frac{y}{x} 的取值范围是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 x−y+1⩽0x-y+1\leqslant0，得 y⩾x+1y\geqslant x+1. 又 x>0x>0 且 y⩽2y\leqslant2，所以 x+1⩽2x+1\leqslant2，即 0<x⩽10<x\leqslant1. 因此
yx⩾x+1x=1+1x⩾2\frac yx\geqslant\frac{x+1}{x}=1+\frac1x\geqslant2
当 r⩾2r\geqslant2 时，取 x=1r−1x=\frac1{r-1}，y=rr−1y=\frac r{r-1}，则 0<x⩽10<x\leqslant1、y⩽2y\leqslant2、y⩾x+1y\geqslant x+1，且 yx=r\frac yx=r. 所以 yx\frac yx 的取值范围为 [2,+∞)[2,+\infty)，选 D. \end{solution}
A.
(0,2)(0,2)
B.
(0,2](0,2]
C.
(2,+∞)(2, +\infty)
D.
[2,+∞)[2, +\infty)

2008 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+1x)9\left(x + \frac{1}{x}\right)^9 展开式中 x2x^2 的系数是______.（用数字作答）
\begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 按二项式定理，展开式的第 k+1k+1 项为 C9kx9−k(1x)k=C9kx9−2k\mathrm C_9^k x^{9-k}\left(\frac1x\right)^k=\mathrm C_9^k x^{9-2k}，其中 k=0k=0，11，…\ldots，99. 指数 9−2k9-2k 始终为奇数，不可能等于 2，所以展开式中没有 x2x^2 项，其系数为 00. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若直线 3x+4y+m=03x + 4y + m = 0 与圆 x2+y2−2x+4y+4=0x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 4 = 0 没有公共点，则实数 mm 的取值范围是______.
\begin{answer} (−∞,0)∪(10,+∞)(-\infty,0)\cup(10,+\infty) \end{answer}
\begin{solution} 圆的方程可化为 (x−1)2+(y+2)2=1(x-1)^2+(y+2)^2=1，所以圆心为 (1,−2)(1,-2)，半径为 11. 圆心到直线 3x+4y+m=03x+4y+m=0 的距离为
∣3×1+4×(−2)+m∣32+42=∣m−5∣5\frac{|3\times1+4\times(-2)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|m-5|}{5}
直线与圆没有公共点当且仅当该距离大于半径，即 ∣m−5∣5>1\frac{|m-5|}{5}>1. 因而 ∣m−5∣>5|m-5|>5，解得 m<0m<0 或 m>10m>10，所以取值范围为 (−∞,0)∪(10,+∞)(-\infty,0)\cup(10,+\infty). \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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18概率与统计★★☆☆☆
三人独立破译同一份密码. 已知三人各自破译出密码的概率分别为 15\frac{1}{5}，14\frac{1}{4}，13\frac{1}{3}，且他们是否破译出密码互不影响.
(1) 求恰有二人破译出密码的概率； (2) “密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.

2008 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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